誰的隨機(jī)愛情故事
從前有一個(gè)隨機(jī)過程A，他喜歡上了另一個(gè)隨機(jī)過程B。雖然他們都映到R上，他們并不定義在同一個(gè)概率空間。但概率空間都不一樣的隨機(jī)過程怎么能夠在一起呢?
A向數(shù)學(xué)家求助。數(shù)學(xué)家說：這個(gè)容易。我把你同分布地映到B所定義的那個(gè)空間就是了。
經(jīng)歷種種磨難，A終于到了B所在的那個(gè)空間。但他愕然發(fā)現(xiàn)，他與B竟然是獨(dú)立的。
A再次找到了數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家說：你看這種種隨機(jī)過程，總是獨(dú)立的多，不獨(dú)立的少。況且不獨(dú)立也未見得是好事。你看C和C+1，他們并不獨(dú)立，協(xié)方差是1，但是他們雖然彼此相愛，卻永遠(yuǎn)也不能在一起。
A繼續(xù)懇求，數(shù)學(xué)家遍查文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了一種方法叫做“耦合”。但這種方法需要雙方的配合。數(shù)學(xué)家找到B說明情況，B被A的誠意打動(dòng)，決定給A一個(gè)機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)家做了這個(gè)概率空間與其自身的乘積空間，并用卡拉西奧多里擴(kuò)張定理構(gòu)造了上面的概率測(cè)度結(jié)構(gòu)，附帶誘導(dǎo)了軌道空間的概率測(cè)度。A和B被寫在同一個(gè)括號(hào)里，構(gòu)成耦合的過程。
歲月無聲，B逐漸接受了A的愛情，但由于他們不知道自己將去往何方，他們從未相遇，對(duì)此也無能為力，只能感嘆造化弄人。
A對(duì)于這種長期的分隔失去了耐心，又跑去向數(shù)學(xué)家求助。數(shù)學(xué)家拿出了cdy老師的應(yīng)隨課本，教給了A應(yīng)隨的知識(shí)。A雖然看不懂某些證明，但明白了一條引理：符合一定條件的耦合過程一定會(huì)到達(dá)對(duì)角線。
A高高興興地回到了未知的生活，并將這條引理教給了B。雖然他們?nèi)圆恢獙⑷ネ畏�，但他們�?jiān)信cdy老師書上的知識(shí)必將引導(dǎo)他們相遇。
經(jīng)過了漫長的等待，在世界盡頭的某一天，他們相遇了。他們沒有說話，只是默默地看著對(duì)方，咀嚼著分別釀造的情絲。
這時(shí)，數(shù)學(xué)家出現(xiàn)了。他說道：你們?nèi)匀华?dú)立，這是我改變不了的。此后，你們也許仍將分離，但你們?nèi)詴?huì)重逢。更重要的是，從此以后，你們的分布是相同的。也就是說，你們將負(fù)擔(dān)彼此共同的命運(yùn)，直到永遠(yuǎn)。在此，我以cdy老師的名義祝福你們。說罷，數(shù)學(xué)家送給他們一本Durrett寫的Probability：Theory and Examples (ed.4).
A與B向數(shù)學(xué)家告別，走上了仍然未知的旅途。他們?nèi)詫⒎蛛x，但又會(huì)重逢。他們負(fù)擔(dān)著彼此共同的命運(yùn)，心貼著心，幸福地走下去，直到t趨于正無窮。