誰的隨機愛情故事

       從前有一個隨機過程A，他喜歡上了另一個隨機過程B。雖然他們都映到R上，他們并不定義在同一個概率空間。但概率空間都不一樣的隨機過程怎么能夠在一起呢?

　　A向數(shù)學家求助。數(shù)學家說：這個容易。我把你同分布地映到B所定義的那個空間就是了。

　　經(jīng)歷種種磨難，A終于到了B所在的那個空間。但他愕然發(fā)現(xiàn)，他與B竟然是獨立的。

　　A再次找到了數(shù)學家。數(shù)學家說：你看這種種隨機過程，總是獨立的多，不獨立的少。況且不獨立也未見得是好事。你看C和C+1，他們并不獨立，協(xié)方差是1，但是他們雖然彼此相愛，卻永遠也不能在一起。

　　A繼續(xù)懇求，數(shù)學家遍查文獻，發(fā)現(xiàn)了一種方法叫做“耦合”。但這種方法需要雙方的配合。數(shù)學家找到B說明情況，B被A的誠意打動，決定給A一個機會。數(shù)學家做了這個概率空間與其自身的乘積空間，并用卡拉西奧多里擴張定理構造了上面的概率測度結構，附帶誘導了軌道空間的概率測度。A和B被寫在同一個括號里，構成耦合的過程。

　　歲月無聲，B逐漸接受了A的愛情，但由于他們不知道自己將去往何方，他們從未相遇，對此也無能為力，只能感嘆造化弄人。

　　A對于這種長期的分隔失去了耐心，又跑去向數(shù)學家求助。數(shù)學家拿出了cdy老師的應隨課本，教給了A應隨的知識。A雖然看不懂某些證明，但明白了一條引理：符合一定條件的耦合過程一定會到達對角線。

　　A高高興興地回到了未知的生活，并將這條引理教給了B。雖然他們仍不知將去往何方，但他們堅信cdy老師書上的知識必將引導他們相遇。

　　經(jīng)過了漫長的等待，在世界盡頭的某一天，他們相遇了。他們沒有說話，只是默默地看著對方，咀嚼著分別釀造的情絲。

　　這時，數(shù)學家出現(xiàn)了。他說道：你們仍然獨立，這是我改變不了的。此后，你們也許仍將分離，但你們仍會重逢。更重要的是，從此以后，你們的分布是相同的。也就是說，你們將負擔彼此共同的命運，直到永遠。在此，我以cdy老師的名義祝福你們。說罷，數(shù)學家送給他們一本Durrett寫的Probability：Theory and Examples (ed.4).

　　A與B向數(shù)學家告別，走上了仍然未知的旅途。他們仍將分離，但又會重逢。他們負擔著彼此共同的命運，心貼著心，幸福地走下去，直到t趨于正無窮。